This is an interesting one. There isn't a lot of information out there about what this body does.

However, I have found some information in the following links:

https://www.laboral-social.com/sites/laboral-social.com/file...
https://blog.sepin.es/2019/07/playa-o-toga/

This body receives and registers labour disputes (i.e. the registro) and distributes the cases to the relevant labour courts or tribunals (i.e. the reparto social) for further processing. The courts can also forward documentation amongst themselves via this body.

The types of disputes that this body handles are as follows:

"DEMANDAS QUE SE PUEDEN PRESENTAR

– Despido.
– Extinción del contrato de trabajo de los arts. 50, 51 y 52 del E.T.
– Movilidad geográfica y modificación sustancial de las condiciones de trabajo.
– Suspensión del contrato y reducción de jomada.
– Derechos de conciliación de la vida personal familiar y laboral del art. 139 de la L.J.S.
– Vacaciones.
– Materia electoral.
– Conflictos colectivos.
– Impugnación de convenios colectivos.
– Tutela de libertad sindical y demás derechos fundamentales.
– Impugnación de Altas Médicas.
– Demandas impugnatorias de sanción sujetas a plazo de caducidad.
– Demandas en que se interese la adopción de actos preparatorios, medidas precautorias y medidas cautelares, en particular en materia de prevención de riesgos laborales, accidentes de trabajo y enfermedades profesionales.
– Demandas relativas a otras actuaciones que tiendan directamente a asegurar la efectividad de los derechos reclamados o para aquellas que, de no adoptarse pudieran dar lugar a un perjuicio de difícil
reparación.
– Demandas en que se ejerciten acciones laborales derivadas de los derechos establecidos en la Ley Orgánica 1/2004, de 28 de diciembre, de Medidas de Protección Integral contra la Violencia de Género.

Se admitirá la presentación de todos los escritos y exhortos dirigidos a la Jurisdicción Social."

Given all of the above, I think your suggestion of "Labour Case Assignment and Registry Office" could work.

My suggestion would be something more succinct, like "Labour Dispute Registry Office." In the translation itself, I would write the name of the entity in Spanish in italics followed by the translation of it in brackets:

Registro y Reparto Social (Madrid Labour Dispute Registry Office)